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数学变分法教程
名称:数学变分法教程
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时间:2014-03-24 11:51
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数学变分法教程相关介绍

变分法是数学领域中的一个重要概念,它是处理函数的函数,和处理数的函数的普通微积分相对。变分法最终寻求的是极值函数,在本教程中,我们将对数学变分法的相关知识进行虚席。

大范围变分法

18世纪是变分法的草创时期,建立了极值应满足的欧拉方程并据此解决了大量具体问题。19世纪人们把变分法广泛应用到数学物理中去,建立了极值函数的充分条件。20世纪伊始,希尔伯特在巴黎国际数学家大会讲演中提到的23个著名数学问题中就有三个与变分法有关,变分法的思想贯穿了R.库朗和希尔伯特所著的《数学物理方法》一书。而H.M.莫尔斯的大范围变分法则是20世纪变分法发展的标志(见莫尔斯理论)。

物理学中的变分原理

P. de费马从欧几里得确立的光的反射定律出发提出了光的最小时间原理:光线永远沿用时最短的路径传播。他原先怀疑光的折射定律,但在1661年费马发现从他的光的最小时间原理能够推导出折射定律,不仅消除了早先的怀疑,而且更加坚信他的原理。拉格朗日把变分法用到动力学上。他引进广义坐标q1,q2,…,qn,动能T是 q'=(q'1,q'2,…,q'n)的函数,q'表示广义速度。他又假定力有位势V,V是q的函数,又假定T+V是常量,即系统无耗散,令L=T-V,称为作用量,拉格朗日的最小作用原理是说真实的运动使作用量取极小值。通过欧拉方程,拉格朗日建立他的运动方程,据此推出了力学的主要定律,并解决了一些新的问题。这些工作都记载在他在1788年出版的《分析力学》一书中。

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