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函数极限考点解析
名称:函数极限考点解析
分类:考研数学
主讲:    
TAG:考研  数学    
时间:2014-01-29 11:54
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函数极限考点解析相关介绍

函数极限是高等数学最基本的概念之一,也是考研数学中高等数学的重要考察内容,它对于导数等概念的定义具有重要意义。在本教程中,我们就对考研数学中函数极限的相关考点进行学习。

函数极限可以分成x→∞,x→+∞,x→-∞,x→Xo,,而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以x→Xo 的极限为例,f(x) 在点Xo 以A为极限的定义是: 对于任意给定的正数ε(无论它多么小),总存在正数δ ,使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ 时,对应的函数值f(x)都满足不等式: |f(x)-A|<ε ,那么常数A就叫做函数f(x)当 x→x。时的极限。

问题的关键在于找到符合定义要求的 ,在这一过程中会用到一些不等式技巧,例如放缩法等。1999年的研究生考试试题中,更是直接考察了考生对定义的掌握情况。详见附例1。

函数极限性质的合理运用。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。如函数极限的唯一性(若极限 存在,则在该点的极限是唯一的)。

存在准则

有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得,需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。

1.夹逼定理:(1)当x∈U(Xo,r)(这是Xo的去心邻域,有个符号打不出)时,有g(x)≤f(x)≤h(x)成立

(2)g(x)—>Xo=A,h(x)—>Xo=A,那么,f(x)极限存在,且等于A

不但能证明极限存在,还可以求极限,主要用放缩法。

2.单调有界准则:单调增加(减少)有上(下)界的数列必定收敛。

在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛,然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数 ,并且要满足极限是趋于同一方向 ,从而证明或求得函数 的极限值。

3.柯西准则

数列收敛的充分必要条件是任给ε>0,存在N(ε),使得当n>N,m>N时,都有|am-an|<ε成立。

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